Sirkelligninger - formler, generelle skjemaer og eksempelproblemer

sirkulær ligning

Ligningen for en sirkel har den generelle formen x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, som kan brukes til å bestemme radius og sentrum av en sirkel.

Sirkelligningen du lærer nedenfor har flere former. I forskjellige tilfeller kan ligningen være annerledes. Forstå det derfor slik at du kan huske det utenat.

En sirkel er et sett med punkter som er like langt fra et punkt. Koordinatene til disse punktene bestemmes gjennom ordningen av ligningene. Dette bestemmes ut fra radiusens lengde og koordinatene til sentrum av sirkelen.

Sirkelligninger

Det er forskjellige slags likheter, nemlig ligning som er dannet fra midtpunktet og radiusen og en ligning som finnes midtpunktet og radiusen.

Den generelle ligningen for en sirkel

Det er en generell ligning, som nedenfor:

sirkulær ligning

Bedømt fra ovenstående ligning, kan midtpunktet og radius bestemmes, er:

sirkulær ligning

Sentrum av sirkelen er:

I sentrum av P (a, b) og radius r

Fra en sirkel, hvis du vet midtpunktet og radiusen, får du formelen:

sirkulær ligning

Hvis du kjenner senterpunktet til en sirkel og radiusen til sirkelen der (a, b) er sentrum og r er radiusen til sirkelen.

Fra ligningen oppnådd ovenfor kan vi bestemme om det å inkludere punktet ligger på sirkelen, eller inne eller utenfor. For å bestemme plasseringen av punktet, bruk punktsubstitusjonen på x- og y-variablene og sammenlign deretter resultatene med kvadratet av sirkelens radius.

sirkulær ligning

Et punkt M (x1, y1) plassert:

sirkulær ligning

På sirkelen:

Inne i sirkelen:

Utenfor sirkelen:

At med sentrum O (0,0) og radius r

Hvis midtpunktet er på O (0,0), så bytt ut i forrige del, nemlig:

sirkulær ligning

Fra ligningen ovenfor kan det bestemmes plasseringen av et punkt på sirkelen.

sirkulær ligning

Et punkt M (x1, y1) plassert:

På sirkelen:

Inne i sirkelen:

Utenfor sirkelen: Les også: Art Is: Definisjon, Funksjon, Typer og eksempler [FULL]

Den generelle formen på ligningen kan uttrykkes i følgende former.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, eller

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, eller

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, hvor P = -2a, Q = -2b, og S = a2 + b2 - r2

Krysset mellom linjer og sirkler

En sirkel med ligningen x2 + y2 + Ax + By + C = 0 kan bestemmes om en linje h med ligningen y = mx + n ikke berører, fornærmer eller skjærer den ved hjelp av diskriminerende prinsipp.

……. (ligning 1)

…… .. (ligning 2)

Ved å erstatte ligning 2 med ligning 1, får du en kvadratisk ligning, nemlig:

sirkulær ligning

Fra kvadratisk ligning ovenfor, ved å sammenligne diskriminerende verdier, kan det sees om linjen ikke fornærmer / krysser, fornærmer eller krysser sirkelen.

Linjen h krysser ikke / støter sirkelen, så D <0

H-linjen er tangent til sirkelen, så D = 0

H-linjen krysser sirkelen, så D> 0

sirkulær ligning

Likninger av tangenter til sirkler

1. Ligning av tangenter gjennom et punkt på sirkelen

Tangenser til en sirkel møter nøyaktig et punkt som ligger på sirkelen. Fra skjæringspunktet mellom tangenten og sirkelen kan ligningen til tangentlinjen bestemmes.

Ligningen for tangenten til sirkelen som går gjennom punktet P (x1, y1), kan bestemmes, nemlig:

  • Skjema

Ligningen til tangenten

    • Skjema

    Ligningen til tangenten

    sirkulær ligning
    • Skjema

    Ligningen til tangenten

    Problemer eksempel:

    Ligningen for tangenten gjennom punktet (-1,1) på sirkelen

    er:

    Svar:

    Kjenn ligningen for sirkelen

    hvor A = -4, B = 6 og C = -12 og x1 = -1, y1 = 1

    PGS er

    sirkulær ligning

    Så ligningen av tangenten er

    2. Ligningen tangerer til gradienten

    Hvis en linje med helning m er tangent til en sirkel,

    sirkulær ligning

    da er ligningen av tangenten:

    Hvis det er en sirkel,

    sirkulær ligning

    deretter ligningen av tangenten:

    sirkulær ligning

    Hvis det er en sirkel,

    deretter ligningen av tangenten ved å erstatte r med,

    sirkulær ligning

    så det:

    sirkulær ligning

    eller

    3. Ligninger av tangenter til punkter utenfor sirkelen

    Fra et punkt utenfor sirkelen kan to tangenter til sirkelen tegnes.

    Les også: Demokrati: Definisjon, historie og typer [FULL]

    For å finne tangensligningen, brukes den vanlige linjeligningsformelen, nemlig:

    sirkulær ligning

    Fra denne formelen er imidlertid ikke verdien av linjens helling kjent. For å finne skråningen på linjen, erstatt ligningen med sirkelligningen. Fordi linjen er en tangens, vil resultatet fra ligningen bli erstattet av verdien D = 0, og verdien av m

    Problemer eksempel

    Eksempel Oppgave 1

    En sirkel har et midtpunkt (2, 3) og er 8 cm i diameter. Ligningen til sirkelen er ...

    Diskusjon:

    Fordi d = 8 betyr r = 8/2 = 4, så er ligningen for sirkelen som dannes

    (x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

    x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

    x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

    Eksempel Oppgave 2

    Bestem den generelle ligningen for sirkelen sentrert ved punkt (5,1) og krenkende linje 3x– 4y+ 4 = 0!

    Diskusjon:

    Hvis du kjenner sentrum av sirkelen (en,b) = (5,1) og tangenten til sirkelen 3x– 4y+ 4 = 0, så er radiusen til sirkelen formulert som følger.

    Dermed er den generelle ligningen for sirkelen som følger.

    Dermed er den generelle ligningen for en sirkel sentrert ved punkt (5,1) og krenkende linje 3x– 4y+ 4 = 0 er

    Eksempel Oppgave 3

    Finn den generelle ligningen for en sirkel sentrert ved (-3,4) og krenkelse av Y-aksen!

    Diskusjon:

    La oss først tegne grafen til sirkelen først, som er sentrert på (-3,4) og støter Y-aksen!

    Basert på bildet ovenfor, kan det sees at sentrum av sirkelen er i koordinat (-3,4) med en radius på 3, slik at:

    Dermed er den generelle ligningen som er sentrert på (-3,4) og støter Y-aksen

    I noen tilfeller er ikke sirkelens radius kjent, men tangenten er kjent. Så hvordan bestemme sirkelens radius? Se på følgende bilde.

    sirkulær ligning

    Bildet over viser at linjen er tangent til ligningen px+ qy+ r= 0 fornærmer sirkelen sentrert ved C (a, b). Radien kan bestemmes av følgende ligning.a, b). Radien kan bestemmes av følgende ligning.

    Kan være nyttig.

    Siste innlegg