Matematisk induksjon: materielle begreper, eksempler på spørsmål og diskusjon

matematisk induksjon

Matematisk induksjon er en deduktiv metode som brukes til å bevise sanne eller falske utsagn.

Du må ha studert matematikkinduksjon på videregående skole. Som vi vet er matematisk induksjon en utvidelse av matematisk logikk.

I applikasjonen brukes matematisk logikk for å studere utsagn som har falske eller sanne verdier, ekvivalenter eller negasjon og trekker konklusjoner.

Enkle konsepter

Matematisk induksjon er en deduktiv metode som brukes til å bevise sanne eller falske utsagn.

I prosessen trekkes konklusjoner basert på gyldigheten av de generelt aksepterte uttalelsene, slik at spesifikke utsagn også kan være sanne. I tillegg betraktes en variabel i matematisk induksjon også som medlem av settet med naturlige tall.

I utgangspunktet er det tre trinn i matematisk induksjon for å bevise om en formel eller uttalelse kan være sant eller omvendt.

Disse trinnene er:

  • Bevis at en påstand eller formel er sann for n = 1.
  • Anta at en påstand eller formel er sant for n = k.
  • Bevis at en påstand eller formel er sant for n = k + 1.

Fra trinnene ovenfor kan vi anta at en uttalelse må være verifiserbar for n = k og n = k + 1.

matematisk induksjon

Typer matematisk induksjon

Det er forskjellige typer matematiske problemer som kan løses gjennom matematisk induksjon. Derfor kan matematisk induksjon deles inn i tre typer, nemlig serie, inndeling og ulikhet.

1. Serier

I denne typen serier, er vanligvis det matematiske induksjonsproblemet funnet i form av suksessiv tillegg.

Så i serieproblemet må sannheten bevises i første periode, k-term og th-term (k + 1).

2. Divisjon

Typer av divisjon matematisk induksjon kan finnes i forskjellige problemer som bruker følgende setninger:

  • a er delelig med b
  • b faktor av a
  • b deler a
  • a multipler b

Disse fire funksjonene indikerer at uttalelsen kan løses ved hjelp av divisjonstype matematisk induksjon.

Tingen å huske er, hvis nummer a er delbart med b da a = b.m hvor m er et helt tall.

3. Ulikheter

Ulikhetstypen er angitt med et tegn som er mer enn eller mindre enn det i uttalelsen.

Det er egenskaper som ofte brukes til å løse matematiske induksjonstyper av ulikheter. Disse egenskapene er:

  • a> b> c ⇒ a> c eller a <b <c ⇒ a <c
  • en 0 ⇒ ac <bc eller a> b og c> 0 ⇒ ac> bc
  • a <b ⇒ a + c <b + c eller a> b ⇒ a + c> b + c
Les også: Forskjellen mellom et kvadrat og et rektangel [FULL BESKRIVELSE]

Eksempler på matematiske induksjonsproblemer

Følgende er et eksempel på et problem slik at du bedre kan forstå hvordan du kan løse en formelsikker ved hjelp av matematisk induksjon.

Rad

Eksempel 1

Bevis 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1), for hvert n naturlige tall.

Svar:

P (n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)

Det vil bli bevist at n = (n) er sant for hver n ∈ N

Det første steget :

Det vil bli vist at n = (1) er riktig

2 = 1(1 + 1)

Så, P (1) er riktig

Andre trinn :

Anta at n = (k) er sant, dvs.

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Tredje trinn

Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Fra antagelsene:

2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1)

Legg til begge sider med uk + 1 :

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Så, n = (k + 1) er riktig

Eksempel 2

Bruk matematisk induksjon for å bevise ligninger

Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 for alle heltall n ≥ 1.

Svar:

Det første steget :

Det vil bli vist at n = (1) er riktig

S1 = 1 = 12

Andre trinn

Anta at n = (k) er sant, altså

1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2

Tredje trinn

Bevis at n = (k + 1) er sant

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

husk at 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2

deretter

k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

(k + 1) 2 = (k + 1) 2

da er ovenstående ligning bevist

Eksempel 3

Bevis det 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 sant, for hvert n naturlige tall

Svar:

Det første steget :

Det vil bli vist at n = (1) er riktig

1 = 12

Så, P (1) er riktig

Andre trinn:

Anta at n = (k) er sant, altså

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

Tredje trinn:

Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Fra antagelsene:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2

Legg til begge sider med uk + 1 :

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Så, n = (k + 1) er også sant

Inndeling

Eksempel 4

Bevis at n3 + 2n er delelig med 3, for hvert n naturlige tall

Svar:

Det første steget:

Det vil bli vist at n = (1) er riktig

13 + 2.1 = 3 = 3.1

Så, n = (1) er riktig

Les også: Forståelse og kjennetegn ved kommunistisk ideologi + eksempler

Andre trinn:

Anta at n = (k) er sant, altså

k3 + 2k = 3m, k ∈ NN

Tredje trinn:

Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)

Siden m er et helt tall og k er et naturlig tall, er (m + k2 + k + 1) et helt tall.

Anta at p = (m + k2 + k + 1), da

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, hvor p ∈ ZZ

Så, n = (k + 1) er riktig

Ulikhet

Eksempel 5

Bevis at for alle naturlige tall er n ≥ 2 gyldig

3n> 1 + 2n

Svar:

Det første steget:

Det vil bli vist at n = (2) er riktig

32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Så, P (1) er riktig

Andre trinn:

Anta at n = (k) er sant, altså

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

Tredje trinn:

Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)

3k + 1> 3 (1 + 2k) (fordi 3k> 1 + 2k)

3k + 1 = 3 + 6k

3k + 1> 3 + 2k (fordi 6k> 2k)

3k + 1 = 1 + 2k + 2

3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

Så, n = (k + 1) er også sant

Eksempel 6

Bevis at for alle naturlige tall er n ≥ 4 gyldig

(n + 1)! > 3n

Svar:

Det første steget:

Det vil bli vist at n = (4) er riktig

(4 + 1)! > 34

venstre side: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

høyre side: 34 = 81

Så, n = (4) er riktig

Andre trinn:

Anta at n = (k) er sant, altså

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

Tredje trinn:

Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!

(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!

(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (fordi (k + 1)!> 3k)

(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (fordi k + 2> 3)

(k + 1 + 1)! = 3k + 1

Så, n = (k + 1) er også sant

Siste innlegg