Matematisk induksjon er en deduktiv metode som brukes til å bevise sanne eller falske utsagn.
Du må ha studert matematikkinduksjon på videregående skole. Som vi vet er matematisk induksjon en utvidelse av matematisk logikk.
I applikasjonen brukes matematisk logikk for å studere utsagn som har falske eller sanne verdier, ekvivalenter eller negasjon og trekker konklusjoner.
Enkle konsepter
Matematisk induksjon er en deduktiv metode som brukes til å bevise sanne eller falske utsagn.
I prosessen trekkes konklusjoner basert på gyldigheten av de generelt aksepterte uttalelsene, slik at spesifikke utsagn også kan være sanne. I tillegg betraktes en variabel i matematisk induksjon også som medlem av settet med naturlige tall.
I utgangspunktet er det tre trinn i matematisk induksjon for å bevise om en formel eller uttalelse kan være sant eller omvendt.
Disse trinnene er:
- Bevis at en påstand eller formel er sann for n = 1.
- Anta at en påstand eller formel er sant for n = k.
- Bevis at en påstand eller formel er sant for n = k + 1.
Fra trinnene ovenfor kan vi anta at en uttalelse må være verifiserbar for n = k og n = k + 1.
Typer matematisk induksjon
Det er forskjellige typer matematiske problemer som kan løses gjennom matematisk induksjon. Derfor kan matematisk induksjon deles inn i tre typer, nemlig serie, inndeling og ulikhet.
1. Serier
I denne typen serier, er vanligvis det matematiske induksjonsproblemet funnet i form av suksessiv tillegg.
Så i serieproblemet må sannheten bevises i første periode, k-term og th-term (k + 1).
2. Divisjon
Typer av divisjon matematisk induksjon kan finnes i forskjellige problemer som bruker følgende setninger:
- a er delelig med b
- b faktor av a
- b deler a
- a multipler b
Disse fire funksjonene indikerer at uttalelsen kan løses ved hjelp av divisjonstype matematisk induksjon.
Tingen å huske er, hvis nummer a er delbart med b da a = b.m hvor m er et helt tall.
3. Ulikheter
Ulikhetstypen er angitt med et tegn som er mer enn eller mindre enn det i uttalelsen.
Det er egenskaper som ofte brukes til å løse matematiske induksjonstyper av ulikheter. Disse egenskapene er:
- a> b> c ⇒ a> c eller a <b <c ⇒ a <c
- en 0 ⇒ ac <bc eller a> b og c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c eller a> b ⇒ a + c> b + c
Eksempler på matematiske induksjonsproblemer
Følgende er et eksempel på et problem slik at du bedre kan forstå hvordan du kan løse en formelsikker ved hjelp av matematisk induksjon.
Rad
Eksempel 1
Bevis 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1), for hvert n naturlige tall.
Svar:
P (n): 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)
Det vil bli bevist at n = (n) er sant for hver n ∈ N
Det første steget :
Det vil bli vist at n = (1) er riktig
2 = 1(1 + 1)
Så, P (1) er riktig
Andre trinn :
Anta at n = (k) er sant, dvs.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Tredje trinn
Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Fra antagelsene:
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1)
Legg til begge sider med uk + 1 :
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Så, n = (k + 1) er riktig
Eksempel 2
Bruk matematisk induksjon for å bevise ligninger
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 for alle heltall n ≥ 1.
Svar:
Det første steget :Det vil bli vist at n = (1) er riktig
S1 = 1 = 12
Andre trinn
Anta at n = (k) er sant, altså
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Tredje trinn
Bevis at n = (k + 1) er sant
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
husk at 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
deretter
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
da er ovenstående ligning bevist
Eksempel 3
Bevis det 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 sant, for hvert n naturlige tall
Svar:
Det første steget :
Det vil bli vist at n = (1) er riktig
1 = 12
Så, P (1) er riktig
Andre trinn:
Anta at n = (k) er sant, altså
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Tredje trinn:
Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Fra antagelsene:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Legg til begge sider med uk + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Så, n = (k + 1) er også sant
Inndeling
Eksempel 4
Bevis at n3 + 2n er delelig med 3, for hvert n naturlige tall
Svar:
Det første steget:
Det vil bli vist at n = (1) er riktig
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Så, n = (1) er riktig
Les også: Forståelse og kjennetegn ved kommunistisk ideologi + eksemplerAndre trinn:
Anta at n = (k) er sant, altså
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Tredje trinn:
Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Siden m er et helt tall og k er et naturlig tall, er (m + k2 + k + 1) et helt tall.
Anta at p = (m + k2 + k + 1), da
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, hvor p ∈ ZZ
Så, n = (k + 1) er riktig
Ulikhet
Eksempel 5
Bevis at for alle naturlige tall er n ≥ 2 gyldig
3n> 1 + 2n
Svar:
Det første steget:
Det vil bli vist at n = (2) er riktig
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Så, P (1) er riktig
Andre trinn:
Anta at n = (k) er sant, altså
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Tredje trinn:
Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (fordi 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (fordi 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Så, n = (k + 1) er også sant
Eksempel 6
Bevis at for alle naturlige tall er n ≥ 4 gyldig
(n + 1)! > 3n
Svar:
Det første steget:
Det vil bli vist at n = (4) er riktig
(4 + 1)! > 34
venstre side: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
høyre side: 34 = 81
Så, n = (4) er riktig
Andre trinn:
Anta at n = (k) er sant, altså
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Tredje trinn:
Det vil bli vist at n = (k + 1) også er sant, altså
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (fordi (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (fordi k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Så, n = (k + 1) er også sant
