Komposisjonsfunksjoner: Grunnleggende konsepter, formler og eksempler

Komposisjonsfunksjon er kombinasjonen av en operasjon av to typer funksjoner f (x) og g (x) slik at den kan produsere en ny funksjon.

Sammensetningsfunksjonsformler

Symbolet for komposisjonsfunksjonen er med "o", så kan den leses enten komposisjon eller sirkel. Denne nye funksjonen kan dannes fra f (x) og g (x), nemlig:

1. (f o g) (x) som betyr at g inngås f
2. (g o f) (x), som betyr at f settes inn i g

I sammensetningen er funksjonen også kjent som en enkelt funksjon.

Hva er en enkelt funksjon?

En enkelt funksjon er en funksjon som kan betegnes med bokstaven "f o g" eller kan leses "f avrundet g". Funksjonen "f o g" er funksjonen g som gjøres først, deretter etterfulgt av f.

I mellomtiden, for funksjonen "g o f" les funksjonen g rundkjøring f. Dermed er "g o f" en funksjon der f gjøres først i stedet for g.

Da er funksjonen (f o g) (x) = f (g (x)) → funksjon g (x) sammensatt som en funksjon f (x)

For å forstå denne funksjonen, vurder bildet nedenfor:

Fra formelskjemaet ovenfor er definisjonen vi har:

Hvis f: A → B bestemt av formelen y = f (x)

Hvis g: B → C bestemt av formelen y = g (x)

Deretter får vi et resultat av funksjonene g og f:

h (x) = (gof) (x) = g (f (x))

Fra definisjonen ovenfor kan vi konkludere med at funksjoner som involverer funksjonene f og g kan skrives:

• (g o f) (x) = g (f (x))
• (f o g) (x) = f (g (x))

Egenskaper for komposisjonsfunksjon

Det er flere egenskaper til sammensetningsfunksjonen som er beskrevet nedenfor.

Hvis f: A → B, g: B → C, h: C → D, så:

1. (f o g) (x) ≠ (g o f) (x). Kommutativ natur gjelder ikke
2. [f o (g o h) (x)] = [(f o g) o h (x)]. er assosiativ
3. Hvis identitetsfunksjonen I (x), deretter (f o l) (x) = (l o f) (x) = f (x)

Problemer eksempel

Oppgave 1

Gitt to funksjoner hver f (x) og g (x) henholdsvis, nemlig:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

Fastslå:

a) (f o g) (x)

b) (g o f) (x)

Svar

Er kjent:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

(f o g) (x)

"Skriv inn det g (x) tilf (x) "

til det blir:

(f o g) (x) = f ( g(x))

= f (2 - x)

= 3 (2 - x) + 2

= 6 - 3x + 2

= - 3x + 8

(g o f ) (x)

"Skriv inn det f (x) til g (x) "

Inntil det blir:

(f o g) (x) = g (f (x))

= g (3x + 2)

= 2 - (3x + 2)

= 2 - 3x - 2

= - 3x

Oppgave 2

Hvis vi vet at f (x) = 3x + 4 og g (x) = 3x, hva er verdien av (f o g) (2).

Svar:

(f o g) (x) = f (g (x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

(f o g) (2) = 9 (2) + 4

= 22

Oppgave 3

Kjent funksjon f (x) = 3x - 1 og g (x) = 2 × 2 + 3. Verdien av funksjonssammensetningen ( g o f )(1) =….?

Svar

Er kjent:

f (x) = 3x - 1 og g (x) = 2 × 2 + 3

( g o f )(1) =…?

Koble f (x) til g (x) og fyll deretter med 1

(g o f) (x) = 2 (3 x - 1) 2 + 3

(g o f) (x) = 2 (9 x 2 - 6x + 1) + 3

(g o f) (x) = 18x 2 - 12x + 2 + 3

(g o f) (x) = 18 × 2 - 12x + 5

(g o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11

Oppgave 4

Det er gitt to funksjoner:

f (x) = 2x - 3

g (x) = x2 + 2x + 3

Hvis (f o g) (a) er 33, finn verdien 5a

Svar:

Finn først (f o g) (x)

(f o g) (x) er lik 2 (x2 + 2x + 3) - 3

(f o g) (x) tilsvarer 2 × 2 4x + 6 - 3

(f o g) (x) er lik 2 × 2 4x + 3

33 er det samme som 2a2 4a + 3

2a2 4a - 30 er lik 0

a2 + 2a - 15 er lik 0

Faktor:

(a + 5) (a - 3) er lik 0

a = - 5 eller lik 3

Til

5a = 5 (−5) = −25 eller 5a = 5 (3) = 15

Oppgave 5

Hvis (f o g) (x) = x² + 3x + 4 og g (x) = 4x - 5. Hva er verdien av f (3)?

Svar:

(f o g) (x) tilsvarer x² + 3x + 4

f (g (x)) tilsvarer x² + 3x + 4

g (x) er lik 3 Så,

4x - 5 er lik 3

4x er lik 8

x er lik 2

f (g (x)) = x² + 3x + 4 og for g (x) lik 3 får vi x lik 2

Inntil: f (3) = 2² + 3. 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

Dette er forklaringen om komposisjonsfunksjonsformelen og et eksempel på problemet. Kan være nyttig.