Kvadratiske ligninger (FULL): Definisjon, formler, eksempelproblemer

Kvadratisk ligning er en av de matematiske ligningene til variabelen som har den høyeste effekten på to.

Den generelle formen for en kvadratisk ligning eller PK er som følger:

øks2 + bx + c = 0

med x er en variabel, en, b er koeffisienten, og c er en konstant. Verdien av a er ikke lik null.

Grafformer

Hvis en kvadratisk ligning er beskrevet i form av kartesiske koordinater (x, y), vil den danne en parabolsk graf. Derfor blir også kvadratiske ligninger referert til som parabolisk ligning.

Følgende er et eksempel på formen på denne ligningen i form av en parabolsk graf.

I den generaliserte ligningen av verdi en, b, og c påvirker sterkt det resulterende parabolske mønsteret.

Resultat en bestemme den konkave eller konvekse kurven til parabolen. Hvis verdien er fra a> 0, da vil parabolen åpne oppover (konkav). Ellers hvis a <0, så vil parabolen nedover åpen (konveks).

Resultat b på ligningen bestemmer topposisjonen til parabolen. Med andre ord, å bestemme verdien på aksen til symmetri for kurven er lik x =-b/2a.

Konstant verdi c på grafen bestemmer ligningen skjæringspunktet mellom parabelfunksjonen og y-aksen. Følgende er en parabolsk graf med endringer i konstante verdier c.

Roots of the Quadratic Equation (PK)

Løsningen på den kvadratiske ligningen kalles akar-roten til den kvadratiske ligningen.

Ulike PK-røtter

Røttene PK kan lett finnes ved å bruke den generelle formelen D = b2 - 4ac fra den generelle ligningen for den kvadratiske ax2 + bx + c = 0.

Følgende er slags røtter til kvadratiske ligninger.

1. Ekte rot (D> 0)

Hvis verdien av D> 0 fra en PK, vil den produsere ekte ligningsrøtter, men ha forskjellige røtter. Med andre ord, x1 er ikke det samme som x2.

Eksempel på den virkelige rotligningen (D> 0)

Finn rottypen til ligningen x2 + 4x + 2 = 0.

Bosetting:

a = 1; b = 4; og c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (1) (2)

D = 16 - 8

D = 8

Så siden verdien av D> 0, er roten av typen ekte rot.

2. Ekte rot er lik x1 = x2 (D = 0)

Det er en type rot i en kvadratisk ligning som produserer røtter med samme verdi (x1 = x2).

Eksempel på ekte røtter (D = 0)

Finn PK-rotverdien 2x2 + 4x + 2 = 0.

Bosetting:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (2) (2)

D = 16 - 16

D = 0

Så fordi verdien av D = 0, er det bevist at røttene er ekte og tvillinger.

3. Imaginære røtter / ikke ekte (D <0)

Hvis verdien av D <0, vil roten til den kvadratiske ligningen være imaginær / ikke reell.

Eksempel på imaginære røtter (D <0) /

Finn rottypen til ligningen x2 + 2x + 4 = 0.

Bosetting:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4 (1) (4)

D = 4 - 16

D = -12

Så siden verdien av D <0, er roten til ligningen en uvirkelig eller imaginær rot.

Finn røttene til den kvadratiske ligningen

Det er flere metoder som kan brukes til å finne røttene til en kvadratisk ligning. Blant dem er faktorisering, perfekte firkanter og bruk av formelen abc.

Det følgende beskriver flere metoder for å finne ligningsrøtter.

1. Faktorisering

Faktorisering / factoring er en metode for å finne røtter med på jakt etter en verdi som, hvis den multipliseres, vil gi en annen verdi.

Det er tre former for kvadratiske ligninger (PK) med forskjellig rotfaktorisering, nemlig:

Følgende er et eksempel på et problem med bruk av faktoriseringsmetoden i kvadratiske ligninger.

Løs 5x kvadratisk ligning2+ 13x + 6 = 0 ved hjelp av faktoriseringsmetoden.

Bosetting:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 eller x = -2

Så resultatet av løsningen er x = -3/5 eller x = -2

2. Perfekte firkanter

Skjema perfekte firkanter er en form for kvadratisk ligning som er gir et rasjonelt tall.

Resultatene av en perfekt kvadratisk ligning bruker vanligvis følgende formel:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

Den generelle løsningen på den perfekte kvadratiske ligningen er som følger:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

med (x + p) 2 = q, deretter:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Følgende er et eksempel på et problem med bruk av den perfekte ligningsmetoden.

Løs ligningen x2 + 6x + 5 = 0 ved hjelp av den perfekte kvadratiske ligningsmetoden!

Bosetting:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

Det neste trinnet, nemlig legg til ett nummer i høyre og venstre segment slik at de kan endre seg til en perfekt firkant.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

Så det endelige resultatet er x = -1 eller x = -5

3. ABC kvadratiske formler

Abc-formelen er et alternativt valg når den kvadratiske ligningen ikke kan løses ved faktorisering eller perfekte kvadratiske metoder.

Her er formelformelen a B C i den kvadratiske ligningen ax2 + bx + c = 0.

Følgende er et eksempel på å løse et kvadratisk ligningsproblem ved hjelp av en formel a B C.

Løs ligningen x2 + 4x - 12 = 0 ved hjelp av abc-formelmetoden!

Bosetting:

x2 + 4x - 12 = 0

hvor a = 1, b = 4, c = -12

Konstruere en ny kvadratisk ligning

Hvis vi tidligere har lært å finne røttene til ligningen, så lærer vi nå å komponere den kvadratiske ligningen fra røttene som tidligere har vært kjent.

Her er noen måter du kan bygge en ny PK på.

1.Konstruer ligningen når du kjenner røttene

Hvis en ligning har røtter x1 og x2, kan ligningen for disse røttene uttrykkes i form av

(x- x₁) (x- x₂)=0

Eksempel:

Finn en kvadratisk ligning der røttene er mellom -2 og 3.

Bosetting:

x₁ = -2 og x₂=3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

Så resultatet av ligningen for disse røttene er x2-x-6 = 0

2.Konstruer en kvadratisk ligning når du vet summen og produktet av røttene

Hvis røttene til den kvadratiske ligningen med antall og ganger x1 og x2 er kjent, kan den kvadratiske ligningen konverteres til følgende form.

x2- (x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂)=0

Eksempel:

Finn en kvadratisk ligning med røttene 3 og 1/2.

Bosetting:

x₁= 3 og x₂= -1/2

x₁₊ x₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x_1.x₂ = 3 (-1/2) = -3/2

Dermed er den kvadratiske ligningen:

x2- (x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂)=0

x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (hver side multipliseres med 2)

2x2-5x-3 = 0

Så den kvadratiske ligningen for røtter 3 og 1/2 er 2x2-5x-3 = 0.